与えられた2つの不定積分を計算します。 (a) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$ (b) $\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算します。

(a) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$

(b) $\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$

2. 解き方の手順

(a) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$

置換積分を用います。$u = x^2 + 1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2x$ なので、$dx = \frac{du}{2x}$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{u}} \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du$

$u^{-1/2}$ の積分は $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}$ なので、

$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} (2u^{1/2}) + C = u^{1/2} + C = \sqrt{u} + C$

ここで、$u = x^2 + 1$ を代入すると、

$\sqrt{x^2 + 1} + C$

(b) $\int \frac{\arctan x}{1+x^2} dx$

置換積分を用います。$u = \arctan x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$ なので、$dx = (1+x^2)du$ となります。

したがって、

$\int \frac{u}{1+x^2} (1+x^2) du = \int u du = \frac{1}{2} u^2 + C$

ここで、$u = \arctan x$ を代入すると、

$\frac{1}{2} (\arctan x)^2 + C$

3. 最終的な答え

(a) $\sqrt{x^2 + 1} + C$

(b) $\frac{1}{2} (\arctan x)^2 + C$