以下の2つの極限を計算する問題です。ただし、$a > 1$とします。 (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{a^x}{1 + a^x}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$

1. 問題の内容

以下の2つの極限を計算する問題です。ただし、$a > 1$とします。

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{a^x}{1 + a^x}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}}$

2. 解き方の手順

(3)

$a^x$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{a^x}{1 + a^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^{-x} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$a^{-x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^{-x} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$

(4)

$a^x$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{a^x - a^{-x}}{a^x + a^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}}$

$x \to \infty$ のとき、$a^{-2x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{-2x}}{1 + a^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

3. 最終的な答え

(3) 1

(4) 1