与えられた対数関数の方程式 $\log|y-1| - \log|y| = x + C$ を変形して、$\frac{y-1}{y} = C'e^x$ の形にすることを求められています。

1. 問題の内容

与えられた対数関数の方程式 $\log|y-1| - \log|y| = x + C$ を変形して、$\frac{y-1}{y} = C'e^x$ の形にすることを求められています。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、左辺をまとめます。

$\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$ の性質を利用すると、

$\log|y-1| - \log|y| = \log \left| \frac{y-1}{y} \right|$

したがって、与えられた方程式は以下のように書き換えられます。

$\log \left| \frac{y-1}{y} \right| = x + C$

次に、両辺の指数関数を取ります。つまり、$e$ を底とする指数関数を適用します。

$\left| \frac{y-1}{y} \right| = e^{x+C}$

$e^{x+C} = e^x e^C$ ですから、

$\left| \frac{y-1}{y} \right| = e^C e^x$

ここで、$e^C$ は定数なので、$C' = \pm e^C$ とおくと、

$\frac{y-1}{y} = C' e^x$

3. 最終的な答え

$\frac{y-1}{y} = C'e^x$