(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1}}{x-2}$ を求めます。 (4) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2-9}{|x-3|}$ を求めます。

1. 問題の内容

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1}}{x-2}$ を求めます。

(4) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2-9}{|x-3|}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1}}{x-2}$

分母分子に$\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+1}$をかけます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1}}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1})(\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+1})}{(x-2)(\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+1})} = \lim_{x \to 2} \frac{(2x-1) - (x+1)}{(x-2)(\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+1})} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+1})} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+1}}$

ここで、$x \to 2$を代入すると、$\sqrt{2(2)-1} + \sqrt{2+1} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$となるので、

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2x-1} + \sqrt{x+1}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(4) $\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2-9}{|x-3|}$

$x \to 3-0$は、$x$が$3$より小さい側から$3$に近づくことを意味します。つまり、$x<3$なので、$x-3<0$となります。

したがって、$|x-3| = -(x-3) = 3-x$となります。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2-9}{|x-3|} = \lim_{x \to 3-0} \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3-0} -(x+3)$

ここで、$x \to 3$を代入すると、$-(3+3) = -6$となるので、

$\lim_{x \to 3-0} -(x+3) = -6$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(4) $-6$