関数 $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ の極小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ の極小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 3x^2 - 6x - 9$

(2) 導関数が0となる $x$ の値を求める（極値を取る $x$ の候補）。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

(3) 増減表を作成し、極小値を判定する。

| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |

|------|------|-----|-----|----|-----|

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 極大| 減少 | 極小 | 増加 |

$x = 3$ で極小となる。

(4) $x = 3$ のときの $y$ の値を計算する。

$y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$

3. 最終的な答え

-22