$a < b$のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ を平均値の定理を用いて証明します。

1. 問題の内容

$a < b$のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ を平均値の定理を用いて証明します。

2. 解き方の手順

まず、関数$f(x) = e^x$を区間$[a, b]$で考えます。

$f(x)$は区間$[a, b]$で連続であり、区間$(a, b)$で微分可能です。したがって、平均値の定理を適用できます。

平均値の定理より、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在します。

$f(x) = e^x$なので、$f'(x) = e^x$です。したがって、

$$\frac{e^b - e^a}{b - a} = e^c$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在します。

$a < c < b$ より、$e^a < e^c < e^b$です。

よって、

$$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a < b$のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$