関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、$x=0$ で連続になるように定数 $M$ の値を求めます。 $$ f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1-\cos x}}{|x|} & (x \neq 0) \\ M & (x = 0) \end{cases} $$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、$x=0$ で連続になるように定数 $M$ の値を求めます。

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f(x) =

\begin{cases}

\frac{\sqrt{1-\cos x}}{|x|} & (x \neq 0) \\

M & (x = 0)

\end{cases}

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2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件が成り立つ必要があります。

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\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)

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$f(0)=M$ であるから、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を計算して、$M$ の値を求めます。

まず、$1-\cos x$ を半角の公式を用いて変形します。

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1-\cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}

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したがって、

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\sqrt{1-\cos x} = \sqrt{2\sin^2 \frac{x}{2}} = \sqrt{2} \left| \sin \frac{x}{2} \right|

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よって、

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f(x) = \frac{\sqrt{2} \left| \sin \frac{x}{2} \right|}{|x|}

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ここで、$x \to 0$ における極限を考えます。$x>0$ のとき $|x| = x$ であり、$x<0$ のとき $|x| = -x$ であることに注意して、右側極限と左側極限をそれぞれ計算します。

右側極限：

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\lim_{x \to +0} \frac{\sqrt{2} \left| \sin \frac{x}{2} \right|}{|x|} = \lim_{x \to +0} \frac{\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}}{x} = \sqrt{2} \lim_{x \to +0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x}

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ここで、$\frac{x}{2} = t$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to +0$ であり、$x = 2t$ となるので、

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\sqrt{2} \lim_{x \to +0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \sqrt{2} \lim_{t \to +0} \frac{\sin t}{2t} = \frac{\sqrt{2}}{2} \lim_{t \to +0} \frac{\sin t}{t} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}

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左側極限：

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\lim_{x \to -0} \frac{\sqrt{2} \left| \sin \frac{x}{2} \right|}{|x|} = \lim_{x \to -0} \frac{\sqrt{2} \left| \sin \frac{x}{2} \right|}{-x}

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$x<0$ なので $\sin \frac{x}{2} < 0$ であり $\left| \sin \frac{x}{2} \right| = -\sin \frac{x}{2}$ となるから、

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\lim_{x \to -0} \frac{\sqrt{2} \left( -\sin \frac{x}{2} \right)}{-x} = \lim_{x \to -0} \frac{\sqrt{2} \sin \frac{x}{2}}{x} = \sqrt{2} \lim_{x \to -0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x}

$$$$

ここで、$\frac{x}{2} = t$ とおくと、$x \to -0$ のとき $t \to -0$ であり、$x = 2t$ となるので、

$$$$

\sqrt{2} \lim_{x \to -0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \sqrt{2} \lim_{t \to -0} \frac{\sin t}{2t} = \frac{\sqrt{2}}{2} \lim_{t \to -0} \frac{\sin t}{t} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}

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右側極限と左側極限が一致するため、$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

$f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要があるので、

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M = \frac{\sqrt{2}}{2}

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3. 最終的な答え

$M = \frac{\sqrt{2}}{2}$