与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} x^2 (\ln \sqrt{x^2 + 3} - \ln x)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to \infty} x^2 (\ln \sqrt{x^2 + 3} - \ln x)$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$\ln \sqrt{x^2 + 3} = \ln (x^2 + 3)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 3)$

$\ln \sqrt{x^2 + 3} - \ln x = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 3) - \ln x = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 3) - \frac{1}{2} \ln x^2 = \frac{1}{2} (\ln (x^2 + 3) - \ln x^2) = \frac{1}{2} \ln \frac{x^2 + 3}{x^2}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x^2 (\ln \sqrt{x^2 + 3} - \ln x) = \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot \frac{1}{2} \ln \frac{x^2 + 3}{x^2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to \infty} x^2 \ln (1 + \frac{3}{x^2})$

ここで、$\frac{3}{x^2} = t$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ であり、$x^2 = \frac{3}{t}$ なので、

$\frac{1}{2} \lim_{x \to \infty} x^2 \ln (1 + \frac{3}{x^2}) = \frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{3}{t} \ln (1 + t) = \frac{3}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = 1$ であるから、

$\frac{3}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\ln (1 + t)}{t} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$