(1) $a_k = i + 2i^2 + 3i^3 + ... + ki^k$ と定義される数列 $\{a_k\}$ に対して、$a_{4n}$ を求める。ここで、$n$ は正の整数、$i$ は虚数単位である。 (2) 公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 4$ のとき、$S_{20}$ を求める。 (3) $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、不等式 $\sqrt{1 - \sin^2(3x + \frac{\pi}{7})} < \frac{1}{2}$ を解く。 (4) 当たりくじ1本、外れくじ4本が入った袋からくじを引く。当たりを引いた回数が $n$ 回より少ない場合はくじを戻して引き続ける。外れを引いた場合は終了する。 (a) 当たりくじを引いた回数が2回以上である確率を求める。 (b) $k$ を $n$ 以下の非負整数として、当たりくじを引いた回数が $k$ 回以上である確率を求める。 (c) 当たりくじを引いた回数の期待値 $S_n$ を求める。 (d) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $a_k = i + 2i^2 + 3i^3 + ... + ki^k$ と定義される数列 $\{a_k\}$ に対して、$a_{4n}$ を求める。ここで、$n$ は正の整数、$i$ は虚数単位である。

(2) 公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_{10} = 4$ のとき、$S_{20}$ を求める。

(3) $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、不等式 $\sqrt{1 - \sin^2(3x + \frac{\pi}{7})} < \frac{1}{2}$ を解く。

(4) 当たりくじ1本、外れくじ4本が入った袋からくじを引く。当たりを引いた回数が $n$ 回より少ない場合はくじを戻して引き続ける。外れを引いた場合は終了する。

(a) 当たりくじを引いた回数が2回以上である確率を求める。

(b) $k$ を $n$ 以下の非負整数として、当たりくじを引いた回数が $k$ 回以上である確率を求める。

(c) 当たりくじを引いた回数の期待値 $S_n$ を求める。

(d) $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_{4n}$ を求める。

$i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ であることを利用する。

$a_{4n} = \sum_{k=1}^{4n} ki^k = \sum_{l=0}^{n-1} ((4l+1)i + (4l+2)i^2 + (4l+3)i^3 + (4l+4)i^4)$

$= \sum_{l=0}^{n-1} ((4l+1)i - (4l+2) - (4l+3)i + (4l+4))$

$= \sum_{l=0}^{n-1} (2 - 2i) = 2n - 2ni = 2n(1 - i)$

(2) $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ である。

$S_{10} = \frac{a(1 - r^{10})}{1 - r} = 4$

$S_{20} = \frac{a(1 - r^{20})}{1 - r} = \frac{a(1 - r^{10})(1 + r^{10})}{1 - r} = S_{10}(1 + r^{10})$

$S_{10} = 4$ なので $4 = \frac{a(1-r^{10})}{1-r}$

$r^{10}$ が不明なので、これ以上簡略化できない。

$S_{20} = S_{10}(1 + \frac{a^{-1}(1-r)}{1-r^{10}} 4) = 4(1 + r^{10})$

$1 - r^{20} = (1-r^{10})(1+r^{10})$

したがって $S_{20} = 4(1+r^{10})$

$r$ は決定できないのでここまで。もし $r=1$ であれば $S_{10}=10a=4$ であり $S_{20}=20a=8$

(3)

$\sqrt{1 - \sin^2(3x + \frac{\pi}{7})} < \frac{1}{2}$

$\sqrt{\cos^2(3x + \frac{\pi}{7})} < \frac{1}{2}$

$|\cos(3x + \frac{\pi}{7})| < \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} < \cos(3x + \frac{\pi}{7}) < \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{3} < 3x + \frac{\pi}{7} < \frac{5\pi}{3}$ または $\frac{7\pi}{3} < 3x + \frac{\pi}{7} < \frac{11\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{7} < 3x < \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{7}$

$\frac{4\pi}{21} < 3x < \frac{32\pi}{21}$

$\frac{4\pi}{63} < x < \frac{32\pi}{63}$

$\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{7} < 3x < \frac{11\pi}{3} - \frac{\pi}{7}$

$\frac{46\pi}{21} < 3x < \frac{74\pi}{21}$

$\frac{46\pi}{63} < x < \frac{74\pi}{63}$

$0 < x \leq \frac{\pi}{2}$ なので

$\frac{4\pi}{63} < x < \frac{32\pi}{63}$ or $\frac{46\pi}{63} < x \leq \frac{\pi}{2}$

(4)

(a) 当たりくじを引いた回数が2回以上である確率。$n \geq 2$とする。

1回目に当たりを引く確率は $\frac{1}{5}$。その後、くじを戻して再度当たりを引く確率は $\frac{1}{5}$。したがって、当たりを2回連続で引く確率は $(\frac{1}{5})^2$。

1回目に外れを引く確率は $\frac{4}{5}$。その後、くじを引いても当たりを2回以上引くことはない。

したがって、当たりくじを引いた回数が2回以上となる確率は $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$。

(b) 当たりくじを引いた回数が $k$ 回以上である確率を求める。

当たりくじを $k$ 回以上引くためには、$k-1$ 回当たりを引き続け、$k$ 回目に当たりを引くか、外れを引くかする。

当たりを $k$ 回引く確率は $(\frac{1}{5})^k$ 。

$k$ 回以上当たりを引く確率は $(\frac{1}{5})^k$。

(c) 当たりくじを引いた回数の期待値 $S_n$ を求める。

当たりくじを引いた回数が $k$ である確率は $(\frac{1}{5})^{k-1} \times \frac{4}{5}$ (k < n)または$(\frac{1}{5})^n$

したがって $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} k (\frac{1}{5})^{k-1} (\frac{4}{5}) + n (\frac{1}{5})^{n-1} (\frac{1}{5})$

$= (\frac{4}{5})\sum_{k=1}^{n-1} k (\frac{1}{5})^{k-1} + n(\frac{1}{5})^n$

$\sum_{k=1}^{n-1} k x^{k-1} = \frac{d}{dx} \sum_{k=1}^{n-1} x^{k} = \frac{d}{dx} \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} = \frac{1-x^{n-1} - x(n-1)x^{n-2}}{1-x} + \frac{x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2}$

$= \frac{1 - nx^{n-1} + (n-1)x^n}{(1-x)^2}$

$S_n = (\frac{4}{5}) \frac{1 - n(\frac{1}{5})^{n-1} + (n-1)(\frac{1}{5})^n}{(1-\frac{1}{5})^2} + n(\frac{1}{5})^n$

$S_n = (\frac{4}{5}) \frac{1 - n(\frac{1}{5})^{n-1} + (n-1)(\frac{1}{5})^n}{(\frac{4}{5})^2} + n(\frac{1}{5})^n$

$= \frac{5}{4}(1 - n(\frac{1}{5})^{n-1} + (n-1)(\frac{1}{5})^n) + n(\frac{1}{5})^n$

$= \frac{5}{4} - \frac{5n}{4} (\frac{1}{5})^{n-1} + \frac{5n}{4} (\frac{1}{5})^n - \frac{5}{4} (\frac{1}{5})^n + \frac{4n}{4}(\frac{1}{5})^n$

$= \frac{5}{4} - \frac{25n}{4} (\frac{1}{5})^n + \frac{5n}{4}(\frac{1}{5})^n - \frac{5}{4} (\frac{1}{5})^n + n (\frac{1}{5})^n$

$= \frac{5}{4} - \frac{16n}{4} (\frac{1}{5})^n - \frac{5}{4} (\frac{1}{5})^n$

$= \frac{5}{4} - (4n + \frac{5}{4})(\frac{1}{5})^n = \frac{5}{4}(1-(\frac{4n}{5} + \frac{1}{5})(\frac{1}{5})^{n-1})$

(d) $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{5}{4} - (4n + \frac{5}{4})(\frac{1}{5})^n)$

$\lim_{n \to \infty} n (\frac{1}{5})^n = 0$ なので

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a_{4n} = 2n(1 - i)$

(2) $S_{20} = 4(1+r^{10})$ (ただし$r$は公比であり、$S_{10}=4$を満たすもの)

(3) $\frac{4\pi}{63} < x < \frac{32\pi}{63}$ or $\frac{46\pi}{63} < x \leq \frac{\pi}{2}$

(4)

(a) $\frac{1}{25}$

(b) $(\frac{1}{5})^k$

(c) $\frac{5}{4} - (4n + \frac{5}{4})(\frac{1}{5})^n$

(d) $\frac{5}{4}$