関数 $f(x)$ が次のように定義されている。 $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{|x|} & (x \neq 0) \\ M & (x = 0) \end{cases}$ $f(x)$ が $x = 0$ で連続となるように、定数 $M$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が次のように定義されている。

$f(x) = \begin{cases}

\frac{\sqrt{1 - \cos x}}{|x|} & (x \neq 0) \\

M & (x = 0)

\end{cases}$

$f(x)$ が $x = 0$ で連続となるように、定数 $M$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x = 0$ で連続であるためには、次の条件を満たす必要がある。

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

$f(0) = M$ であるので、$\lim_{x \to 0} f(x) = M$ となるように $M$ を定める必要がある。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{|x|}$ を計算する。

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ であるから、

$\sqrt{1 - \cos x} = \sqrt{2 \sin^2 \frac{x}{2}} = \sqrt{2} |\sin \frac{x}{2}|$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{|x|} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2} |\sin \frac{x}{2}|}{|x|} = \sqrt{2} \lim_{x \to 0} \frac{|\sin \frac{x}{2}|}{|x|}$

$x \to 0^+$ のとき、$x > 0$ であり、$|x| = x$ なので、

$\lim_{x \to 0^+} \frac{|\sin \frac{x}{2}|}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \cdot \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

$x \to 0^-$ のとき、$x < 0$ であり、$|x| = -x$ なので、

$\lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin \frac{x}{2}|}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{|\sin \frac{x}{2}|}{-x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin \frac{x}{2}}{-x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{|\sin \frac{x}{2}|}{|x|} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos x}}{|x|} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$M = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$M = \frac{\sqrt{2}}{2}$