問題23では、指数関数の導関数を求めます。 (1) $y = 5^x$ (2) $y = (\frac{1}{3})^x$ 問題24では、対数関数の導関数を求めます。 (1) $y = \log_2 x$ (2) $y = \log_3(2x+1)$

1. 問題の内容

問題23では、指数関数の導関数を求めます。

(1) $y = 5^x$

(2) $y = (\frac{1}{3})^x$

問題24では、対数関数の導関数を求めます。

(1) $y = \log_2 x$

(2) $y = \log_3(2x+1)$

2. 解き方の手順

問題23

(1) $y = 5^x$ の導関数を求めます。指数関数の微分公式 $(a^x)' = a^x \ln a$ を用います。

$y' = 5^x \ln 5$

(2) $y = (\frac{1}{3})^x$ の導関数を求めます。指数関数の微分公式 $(a^x)' = a^x \ln a$ を用います。

$y' = (\frac{1}{3})^x \ln (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^x (-\ln 3) = -(\frac{1}{3})^x \ln 3$

問題24

(1) $y = \log_2 x$ の導関数を求めます。対数関数の微分公式 $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$ を用います。

$y' = \frac{1}{x \ln 2}$

(2) $y = \log_3(2x+1)$ の導関数を求めます。対数関数の微分公式 $(\log_a f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x) \ln a}$ を用います。

$f(x) = 2x+1$ より $f'(x) = 2$

$y' = \frac{2}{(2x+1) \ln 3}$

3. 最終的な答え

問題23

(1) $y' = 5^x \ln 5$

(2) $y' = -(\frac{1}{3})^x \ln 3$

問題24

(1) $y' = \frac{1}{x \ln 2}$

(2) $y' = \frac{2}{(2x+1) \ln 3}$