与えられた極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{h \to 0} (1-2h)^{\frac{1}{h}}$ (2) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{h \to 0} (1-2h)^{\frac{1}{h}}$

(2) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

2. 解き方の手順

(1)

$y = (1-2h)^{\frac{1}{h}}$とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \frac{1}{h} \ln (1-2h) = \frac{\ln (1-2h)}{h}$

ここで、$h \to 0$のとき、$\ln(1-2h) \to \ln(1) = 0$なので、$\frac{0}{0}$の不定形です。

ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{h \to 0} \frac{\ln (1-2h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-2}{1-2h}}{1} = \lim_{h \to 0} \frac{-2}{1-2h} = -2$

したがって、$\lim_{h \to 0} \ln y = -2$

$\lim_{h \to 0} y = e^{-2}$

(2)

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

ここで、$t = \frac{x}{2}$とおくと、$x = 2t$であり、$x \to \infty$のとき、$t \to \infty$

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^{2t} = \lim_{t \to \infty} [(1 + \frac{1}{t})^t]^2$

$\lim_{t \to \infty} (1 + \frac{1}{t})^t = e$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = e^2$

3. 最終的な答え

(1) $e^{-2}$

(2) $e^2$