以下の極限を計算します。 $$ \lim_{x \to 0+} \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}} - \sqrt{1-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2+x}} $$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

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\lim_{x \to 0+} \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}} - \sqrt{1-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2+x}}

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2. 解き方の手順

まず、分子を有理化します。

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\sqrt{1+\sqrt{x}} - \sqrt{1-2\sqrt{x}} = \frac{(1+\sqrt{x}) - (1-2\sqrt{x})}{\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}}} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}}}

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したがって、極限は次のようになります。

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\lim_{x \to 0+} \frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}}) \sqrt{x^2+x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}}) \sqrt{x(x+1)}}

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= \lim_{x \to 0+} \frac{3\sqrt{x}}{(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}}) \sqrt{x} \sqrt{x+1}} = \lim_{x \to 0+} \frac{3}{(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}}) \sqrt{x+1}}

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$x \to 0+$のとき、$\sqrt{x} \to 0$なので、

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\lim_{x \to 0+} \frac{3}{(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}}) \sqrt{x+1}} = \frac{3}{(\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}) \sqrt{0+1}} = \frac{3}{(1+1) \cdot 1} = \frac{3}{2}

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3. 最終的な答え

3/2