次の極限を求めよ。 $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}} - \sqrt{1-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2+x}}$$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}} - \sqrt{1-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2+x}}$$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ変形していく。

分子について、$\sqrt{x}=t$ と置くと $x = t^2$ であり、$x \to 0^+$ のとき $t \to 0^+$ となる。したがって、与えられた式は

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{1+t} - \sqrt{1-2t}}{\sqrt{t^4+t^2}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{1+t} - \sqrt{1-2t}}{t\sqrt{t^2+1}}$$

となる。

$\sqrt{1+t} = 1 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{8}t^2 + \dots$ および $\sqrt{1-2t} = 1 - t - \frac{1}{2}t^2 + \dots$ を用いると、

$\sqrt{1+t} - \sqrt{1-2t} = (1+\frac{1}{2}t - \dots) - (1-t - \dots) = \frac{3}{2}t + O(t^2)$ となる。

したがって、

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{1+t} - \sqrt{1-2t}}{t\sqrt{t^2+1}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{3}{2}t}{t\sqrt{t^2+1}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{t^2+1}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{0+1}} = \frac{3}{2}$$

別の解法としては、

分子を有利化する。

$$\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}} - \sqrt{1-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x^2+x}} = \frac{(\sqrt{1+\sqrt{x}} - \sqrt{1-2\sqrt{x}})(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}})}{\sqrt{x^2+x}(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}})} = \frac{(1+\sqrt{x})-(1-2\sqrt{x})}{\sqrt{x^2+x}(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}})} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}})} = \frac{3}{\sqrt{x+1}(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}})}$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{3}{\sqrt{x+1}(\sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-2\sqrt{x}})} = \frac{3}{\sqrt{0+1}(\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0})} = \frac{3}{1(1+1)} = \frac{3}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$