次の関数を微分せよ。 (1) $y = x \log x$ (2) $y = \log (3x-2)$ (3) $y = \log (x-2)$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = x \log x$

(2) $y = \log (3x-2)$

(3) $y = \log (x-2)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x \log x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x$, $v = \log x$ とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$。

よって、

$$y' = (x \log x)' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$$

(2) $y = \log (3x-2)$ の微分

合成関数の微分を用いる。

$u = 3x - 2$ とすると、$y = \log u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = 3$ なので、

$$y' = \frac{1}{3x-2} \cdot 3 = \frac{3}{3x-2}$$

(3) $y = \log (x-2)$ の微分

合成関数の微分を用いる。

$u = x - 2$ とすると、$y = \log u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = 1$ なので、

$$y' = \frac{1}{x-2} \cdot 1 = \frac{1}{x-2}$$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \log x + 1$

(2) $y' = \frac{3}{3x-2}$

(3) $y' = \frac{1}{x-2}$