問題は、教科書に記載されている「区間 $(a, b)$ で常に $f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ は区間 $[a, b]$ で減少する」と「区間 $(a, b)$ で常に $f'(x) = 0$ ならば、$f(x)$ は区間 $[a, b]$ で定数である」という2つの定理を証明することです。

1. 問題の内容

問題は、教科書に記載されている「区間 $(a, b)$ で常に $f'(x) < 0$ ならば、$f(x)$ は区間 $[a, b]$ で減少する」と「区間 $(a, b)$ で常に $f'(x) = 0$ ならば、$f(x)$ は区間 $[a, b]$ で定数である」という2つの定理を証明することです。

2. 解き方の手順

どちらの定理も平均値の定理を用いて証明します。

**定理2の証明:**

$a \le x_1 < x_2 \le b$ となる任意の2数 $x_1, x_2$ に対して、平均値の定理より

$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1), \quad x_1 < c < x_2$

を満たす実数 $c$ が存在します。ここで、区間 $(a, b)$ で常に $f'(x) < 0$ ならば、$x_1, x_2$ のとり方によらず、常に $f'(c) < 0$ となります。$x_2 - x_1 > 0$ であるから、

$f(x_2) - f(x_1) < 0$ すなわち $f(x_1) > f(x_2)$

が成り立ちます。よって、$f(x)$ は区間 $[a, b]$ で減少します。

**定理3の証明:**

$a \le x_1 < x_2 \le b$ となる任意の2数 $x_1, x_2$ に対して、平均値の定理より

$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1), \quad x_1 < c < x_2$

を満たす実数 $c$ が存在します。ここで、区間 $(a, b)$ で常に $f'(x) = 0$ ならば、$x_1, x_2$ のとり方によらず、常に $f'(c) = 0$ となります。したがって、

$f(x_2) - f(x_1) = 0$ すなわち $f(x_1) = f(x_2)$

が成り立ちます。これは、区間 $[a, b]$ 内の任意の2点 $x_1, x_2$ に対して $f(x_1) = f(x_2)$ であることを意味するので、$f(x)$ は区間 $[a, b]$ で定数です。

3. 最終的な答え

定理2と定理3は上記の手順で証明されました。