2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{3}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x-1}}$ (2) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{7-2x}$

1. 問題の内容

2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{3}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x-1}}$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{7-2x}$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{3}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x-1}}$ の計算

$u = 2x - 1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

また、$x=3$ のとき $u = 2(3) - 1 = 5$、$x=5$ のとき $u = 2(5) - 1 = 9$ です。

したがって、積分は

$\int_{5}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{5}^{9} u^{-1/2} du$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{1/2}}{1/2} \right]_{5}^{9} = \frac{1}{2} \cdot 2 \left[ \sqrt{u} \right]_{5}^{9}$

$= \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5}$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{7-2x}$ の計算

$u = 7 - 2x$ と置換すると、$du = -2dx$ より $dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

また、$x=1$ のとき $u = 7 - 2(1) = 5$、$x=3$ のとき $u = 7 - 2(3) = 1$ です。

したがって、積分は

$\int_{5}^{1} \frac{1}{u} \cdot (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int_{5}^{1} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} du$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln |u| \right]_{1}^{5} = \frac{1}{2} (\ln 5 - \ln 1) = \frac{1}{2} (\ln 5 - 0) = \frac{1}{2} \ln 5 = \frac{\ln 5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{3}^{5} \frac{dx}{\sqrt{2x-1}} = 3 - \sqrt{5}$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{dx}{7-2x} = \frac{\ln 5}{2}$