問題は、三角関数の不等式 $\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (b-a) + \frac{3}{2} < 2ab$ を解くことです。ただし、$a = \sin x$、 $b = \cos x$ と定義されています。 この不等式から、$x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の不等式 $\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (b-a) + \frac{3}{2} < 2ab$ を解くことです。ただし、$a = \sin x$、 $b = \cos x$ と定義されています。

この不等式から、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理します。

$\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} (b-a) + \frac{3}{2} < 2ab$

$\sqrt{3} (b-a) + \frac{3}{2} < 2ab$

$\sqrt{3} b - \sqrt{3} a + \frac{3}{2} < 2ab$

両辺に$-3$を足すと、

$\sqrt{3}b - \sqrt{3}a + \frac{3}{2} - 3 < 2ab - 3$

$2ab - \sqrt{3}b + \sqrt{3}a + \frac{3}{2} > 3$

$4ab - 2\sqrt{3}b + 2\sqrt{3}a + 3 > 6$

$4ab - 2\sqrt{3}b + 2\sqrt{3}a -3 > 0$

$(2a - \sqrt{3})(2b + \sqrt{3}) > 0$

この不等式が成り立つための条件は、次の2つの場合です。

(1) $2a - \sqrt{3} > 0$ かつ $2b + \sqrt{3} > 0$

$a > \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $b > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

つまり、$\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $2a - \sqrt{3} < 0$ かつ $2b + \sqrt{3} < 0$

$a < \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $b < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

つまり、$\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)の場合、$\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$

また、$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $0 \le x < \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} < x \le 2\pi$

したがって、(1)を満たす$x$の範囲は $\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$。

(2)の場合、$\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $0 \le x < \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} < x \le 2\pi$

また、$\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

したがって、(2)を満たす$x$の範囲は $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$