問題は、関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続であり、区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、区間 $(a, b)$ で常に $g'(x) = f'(x)$ ならば、区間 $[a, b]$ で $g(x) = f(x) + C$（ただし、$C$ は定数）となることを証明することです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x)$ と $g(x)$ が区間 $[a, b]$ で連続であり、区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、区間 $(a, b)$ で常に $g'(x) = f'(x)$ ならば、区間 $[a, b]$ で $g(x) = f(x) + C$（ただし、$C$ は定数）となることを証明することです。

2. 解き方の手順

まず、$h(x) = g(x) - f(x)$ という関数を定義します。$f(x)$ と $g(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続で、区間 $(a, b)$ で微分可能なので、$h(x)$ も区間 $[a, b]$ で連続で、区間 $(a, b)$ で微分可能です。

次に、$h(x)$ の導関数を計算します。

$h'(x) = g'(x) - f'(x)$

問題の条件より、$g'(x) = f'(x)$ なので、

$h'(x) = 0$ (区間 $(a, b)$ で)

$h'(x) = 0$ が区間 $(a, b)$ で成り立つということは、$h(x)$ は区間 $(a, b)$ で定数関数であることを意味します。したがって、ある定数 $C$ が存在して、

$h(x) = C$ (区間 $(a, b)$ で)

$h(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続なので、区間 $(a, b)$ で定数 $C$ であれば、区間 $[a, b]$ でも $h(x) = C$ が成り立ちます。

したがって、$g(x) - f(x) = C$ であるから、

$g(x) = f(x) + C$ (区間 $[a, b]$ で)

3. 最終的な答え

区間 $(a, b)$ で常に $g'(x) = f'(x)$ ならば、区間 $[a, b]$ で $g(x) = f(x) + C$（ただし、$C$ は定数）が成り立つ。