与えられた3つの関数について、それぞれの極値を求める。 (1) $f(x) = x^2 e^{-x}$ (2) $f(x) = x \log x$ (3) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの極値を求める。

(1) $f(x) = x^2 e^{-x}$

(2) $f(x) = x \log x$

(3) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 e^{-x}$

まず、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = (x^2)'e^{-x} + x^2(e^{-x})' = 2x e^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = x(2-x)e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{-x} > 0$ より、$x(2-x) = 0$ となるので、$x=0, 2$ が極値の候補である。

$x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

$0 < x < 2$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > 2$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = 0$ で極小値 $f(0) = 0$ をとり、$x=2$ で極大値 $f(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2}$ をとる。

(2) $f(x) = x \log x$

定義域は $x > 0$ である。

$f'(x) = (x)'\log x + x (\log x)' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\log x + 1 = 0 \implies \log x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$0 < x < \frac{1}{e}$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > \frac{1}{e}$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = \frac{1}{e}$ で極小値 $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log \frac{1}{e} = \frac{1}{e} (-1) = -\frac{1}{e}$ をとる。極大値は存在しない。

(3) $f(x) = x + \frac{2}{x}$

$f'(x) = 1 - \frac{2}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \frac{2}{x^2} = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$

$x < -\sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$

$-\sqrt{2} < x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

$0 < x < \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > \sqrt{2}$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -\sqrt{2}$ で極大値 $f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2}$ をとり、$x = \sqrt{2}$ で極小値 $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $x=0$ で極小値 $0$, $x=2$ で極大値 $4e^{-2}$

(2) $x = \frac{1}{e}$ で極小値 $-\frac{1}{e}$

(3) $x = -\sqrt{2}$ で極大値 $-2\sqrt{2}$, $x = \sqrt{2}$ で極小値 $2\sqrt{2}$