定積分 $\int_{1}^{2} \frac{5x^2 - 3x}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{5x^2 - 3x}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。$\sqrt{x} = x^{1/2}$ なので、

$$\frac{5x^2 - 3x}{\sqrt{x}} = \frac{5x^2}{x^{1/2}} - \frac{3x}{x^{1/2}} = 5x^{2 - 1/2} - 3x^{1 - 1/2} = 5x^{3/2} - 3x^{1/2}$$

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{1}^{2} (5x^{3/2} - 3x^{1/2}) dx$$

次に、不定積分を求めます。

$$\int (5x^{3/2} - 3x^{1/2}) dx = 5 \int x^{3/2} dx - 3 \int x^{1/2} dx$$

$$= 5 \cdot \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} - 3 \cdot \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = 5 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} - 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$$

$$= 5 \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = 2x^{5/2} - 2x^{3/2} + C$$

最後に、定積分を計算します。

$$\int_{1}^{2} (5x^{3/2} - 3x^{1/2}) dx = [2x^{5/2} - 2x^{3/2}]_{1}^{2}$$

$$= (2(2)^{5/2} - 2(2)^{3/2}) - (2(1)^{5/2} - 2(1)^{3/2}) = (2 \cdot 2^{2} \sqrt{2} - 2 \cdot 2 \sqrt{2}) - (2 - 2)$$

$$= (8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) - 0 = 4\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$