与えられた定積分 $\int_{1}^{2} \frac{dx}{e^x - e^{-x}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{1}^{2} \frac{dx}{e^x - e^{-x}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$e^{-x}$ を含む項を処理するために、分子と分母に $e^x$ を掛けます。

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{e^x - e^{-x}} = \int_{1}^{2} \frac{e^x dx}{e^{2x} - 1}$

次に、$u = e^x$ と置換すると、$du = e^x dx$ となります。積分の範囲も変更する必要があります。$x = 1$ のとき、$u = e^1 = e$ であり、$x = 2$ のとき、$u = e^2$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{e}^{e^2} \frac{du}{u^2 - 1}$

部分分数分解を用いて、被積分関数を分解します。

$\frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{(u-1)(u+1)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$

両辺に $(u-1)(u+1)$ を掛けると、

$1 = A(u+1) + B(u-1)$

$u = 1$ を代入すると、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$ となります。

$u = -1$ を代入すると、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right)$

積分は次のようになります。

$\int_{e}^{e^2} \frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2} \int_{e}^{e^2} \left(\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1}\right) du$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln|u-1| - \ln|u+1| \right]_{e}^{e^2}$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln\left|\frac{u-1}{u+1}\right| \right]_{e}^{e^2}$

$= \frac{1}{2} \left[ \ln\left(\frac{e^2-1}{e^2+1}\right) - \ln\left(\frac{e-1}{e+1}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e^2-1}{e^2+1} \cdot \frac{e+1}{e-1}\right)$

$= \frac{1}{2} \ln\left(\frac{(e-1)(e+1)}{e^2+1} \cdot \frac{e+1}{e-1}\right)$

$= \frac{1}{2} \ln\left(\frac{(e+1)^2}{e^2+1}\right)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln\left(\frac{(e+1)^2}{e^2+1}\right)$