与えられた関数 $y = \log(\sqrt{x^2 + 1} + x)$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。ここで $\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log(\sqrt{x^2 + 1} + x)$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。ここで $\log$ は自然対数（底が $e$）を表すものとします。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法（連鎖律）を適用します。

$y = \log(u)$ とおくと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

ここで、 $u = \sqrt{x^2 + 1} + x$ です。

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$y = \log(u)$ なので、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$ です。

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = \sqrt{x^2 + 1} + x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1}) + \frac{d}{dx}(x)$ となります。

$\frac{d}{dx}(x) = 1$ なので、$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1})$ を計算します。

$v = x^2 + 1$ とおくと、$\sqrt{x^2 + 1} = v^{\frac{1}{2}}$ となります。

連鎖律により、$\frac{d}{dx}(v^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} v^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{dv}{dx}$ となります。

$\frac{dv}{dx} = 2x$ なので、

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ となります。

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} + 1 = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$