与えられた関数 $y = \sinh x$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sinh x$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線関数 $\sinh x$ の定義は、

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

です。したがって、$y = \sinh x$ の導関数は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)$

となります。 微分を計算すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{d}{dx} e^x - \frac{d}{dx} e^{-x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( e^x - (-1)e^{-x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( e^x + e^{-x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \cosh x$

ここで、双曲線関数 $\cosh x$ は、

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

で定義されます。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cosh x$