与えられた積分を計算します。 $\int \frac{\cos t}{\sqrt{\sin t + 2}} dt$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{\cos t}{\sqrt{\sin t + 2}} dt$

2. 解き方の手順

まず、置換積分法を使います。

$u = \sin t + 2$ と置くと、

$\frac{du}{dt} = \cos t$ となります。

したがって、$du = \cos t \, dt$ となります。

これにより、積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} du$

これは、$u^{-1/2}$ の積分なので、次のように計算できます。

$\int u^{-1/2} du = \frac{u^{(-1/2) + 1}}{(-1/2) + 1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{u} + C$

ここで、$u = \sin t + 2$ を代入して元に戻すと、

$2\sqrt{\sin t + 2} + C$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{\sin t + 2} + C$