次の関数を微分する問題です。 (1) $y = xe^{-x^2}$ (2) $y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = xe^{-x^2}$

(2) $y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$

2. 解き方の手順

(1) $y = xe^{-x^2}$ の微分

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$u = x$, $v = e^{-x^2}$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}v + u\frac{dv}{dx}$

$\frac{du}{dx} = 1$

$\frac{dv}{dx} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot (-2xe^{-x^2}) = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$

(2) $y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ の微分

$y = \frac{1}{2} \left( \log |x-1| - \log |x+1| \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{x+1 - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{x^2 - 1} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 - 1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 - 1}$