関数 $y = 2x^2$ のグラフに点 $(1, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2$ のグラフに点 $(1, 0)$ から引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, 2t^2)$ とおく。

次に、関数 $y = 2x^2$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 4x$

点 $(t, 2t^2)$ における接線の傾きは $4t$ である。

したがって、接線の方程式は次のようになる。

$y - 2t^2 = 4t(x - t)$

この接線は点 $(1, 0)$ を通るので、

$x = 1, y = 0$ を代入すると、

$0 - 2t^2 = 4t(1 - t)$

$-2t^2 = 4t - 4t^2$

$2t^2 - 4t = 0$

$2t(t - 2) = 0$

$t = 0, 2$

$t = 0$ のとき、接点の座標は $(0, 0)$ であり、接線の傾きは $0$ なので、接線の方程式は $y = 0$ となる。

$t = 2$ のとき、接点の座標は $(2, 8)$ であり、接線の傾きは $8$ なので、接線の方程式は

$y - 8 = 8(x - 2)$

$y = 8x - 16 + 8$

$y = 8x - 8$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は $y = 0$ と $y = 8x - 8$ である。