与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ に $\frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}$ を掛けます。

すると、

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\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3})(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3})} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(k+2) - (k+3)} = \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{-1} = \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}

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したがって、

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\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})

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これは、差の形になっているので、和を計算すると多くの項が打ち消し合います。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}) = (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2})$

$= -\sqrt{3} + \sqrt{n+3}$

$= \sqrt{n+3} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$