与えられた6つの関数を微分する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。 (1) $y = xe^{-x^2}$ (2) $y = \frac{1}{2} \log |\frac{x-1}{x+1}|$ (3) $y = \log (\sqrt{x^2+1}+x)$ (4) $y = \frac{1}{2} (x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x)$ (5) $y = \frac{1}{2} \{x\sqrt{x^2+1} + \log (\sqrt{x^2+1}+x)\}$ (6) $y = x^{x^x} \quad (x > 0)$

はい、承知いたしました。それでは、与えられた問題について、順に微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。それぞれの関数は以下の通りです。

(1) $y = xe^{-x^2}$

(2) $y = \frac{1}{2} \log |\frac{x-1}{x+1}|$

(3) $y = \log (\sqrt{x^2+1}+x)$

(4) $y = \frac{1}{2} (x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x)$

(5) $y = \frac{1}{2} \{x\sqrt{x^2+1} + \log (\sqrt{x^2+1}+x)\}$

(6) $y = x^{x^x} \quad (x > 0)$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算します。

(1) $y = xe^{-x^2}$

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$y' = (x)' e^{-x^2} + x (e^{-x^2})'$

$y' = 1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} (-2x)$

$y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2}$

$y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

(2) $y = \frac{1}{2} \log |\frac{x-1}{x+1}|$

対数の性質を利用して変形します。

$y = \frac{1}{2} (\log |x-1| - \log |x+1|)$

$y' = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$y' = \frac{1}{2} (\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)})$

$y' = \frac{1}{2} (\frac{2}{x^2-1})$

$y' = \frac{1}{x^2-1}$

(3) $y = \log (\sqrt{x^2+1}+x)$

合成関数の微分法を使います。

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} (\sqrt{x^2+1}+x)'$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} (\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} + 1)$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} (\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1)$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} (\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}})$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

(4) $y = \frac{1}{2} (x\sqrt{1-x^2} + \sin^{-1}x)$

積の微分法と逆三角関数の微分法を使います。

$y' = \frac{1}{2} [(x)'\sqrt{1-x^2} + x (\sqrt{1-x^2})' + (\sin^{-1}x)']$

$y' = \frac{1}{2} [\sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}]$

$y' = \frac{1}{2} [\sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}]$

$y' = \frac{1}{2} [\frac{1-x^2 - x^2 + 1}{\sqrt{1-x^2}}]$

$y' = \frac{1}{2} [\frac{2-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}]$

$y' = \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = \sqrt{1-x^2}$

(5) $y = \frac{1}{2} \{x\sqrt{x^2+1} + \log (\sqrt{x^2+1}+x)\}$

積の微分法、合成関数の微分法、および(3)の結果を使います。

$y' = \frac{1}{2} [(x)'\sqrt{x^2+1} + x(\sqrt{x^2+1})' + (\log(\sqrt{x^2+1}+x))']$

$y' = \frac{1}{2} [\sqrt{x^2+1} + x \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}]$

$y' = \frac{1}{2} [\sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}]$

$y' = \frac{1}{2} [\frac{x^2+1 + x^2 + 1}{\sqrt{x^2+1}}]$

$y' = \frac{1}{2} [\frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}]$

$y' = \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$

$y' = \sqrt{x^2+1}$

(6) $y = x^{x^x} \quad (x > 0)$

両辺の対数をとります。

$\log y = \log (x^{x^x})$

$\log y = x^x \log x$

両辺をxで微分します。

$\frac{y'}{y} = (x^x)' \log x + x^x (\log x)'$

$x^x$の微分を計算します。$u = x^x$ とすると、$\log u = x \log x$

$\frac{u'}{u} = (x)' \log x + x(\log x)' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$u' = x^x (\log x + 1)$

$\frac{y'}{y} = x^x (\log x + 1) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{y'}{y} = x^x (\log x)^2 + x^x \log x + x^{x-1}$

$y' = x^{x^x} [x^x (\log x)^2 + x^x \log x + x^{x-1}]$

$y' = x^{x^x} x^{x-1} [x (\log x)^2 + x \log x + 1]$

3. 最終的な答え

(1) $y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$

(2) $y' = \frac{1}{x^2-1}$

(3) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

(4) $y' = \sqrt{1-x^2}$

(5) $y' = \sqrt{x^2+1}$

(6) $y' = x^{x^x} x^{x-1} [x (\log x)^2 + x \log x + 1]$