関数 $y = xe^{-x^2}$ の微分を計算します。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-x^2}$ の微分を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = xe^{-x^2}$ を $x$ について微分します。

積の微分法と合成関数の微分法を用います。

積の微分法は、$(uv)' = u'v + uv'$ です。

ここで、$u = x$、$v = e^{-x^2}$ とおくと、

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$ です。

次に、$v = e^{-x^2}$ を微分します。

合成関数の微分法より、$\frac{d}{dx}(e^{f(x)}) = e^{f(x)} \cdot f'(x)$ です。

この場合、$f(x) = -x^2$ なので、$f'(x) = -2x$ となります。

したがって、$v' = \frac{d}{dx}(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$ です。

積の微分法に適用すると、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (1)(e^{-x^2}) + (x)(-2xe^{-x^2}) = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$ となります。

$e^{-x^2}$ でくくると、

$\frac{dy}{dx} = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (1-2x^2)e^{-x^2}$