与えられた関数について、指定された点における接線の方程式を求めます。 (1) 関数 $y = x^2 - 3$、点 $(2, 1)$ (2) 関数 $y = -3x^2 + 2x + 3$、点 $(-1, -2)$

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された点における接線の方程式を求めます。

(1) 関数 $y = x^2 - 3$、点 $(2, 1)$

(2) 関数 $y = -3x^2 + 2x + 3$、点 $(-1, -2)$

2. 解き方の手順

(1)

ステップ1: 導関数を求める。

$y = x^2 - 3$ の導関数は $y' = 2x$ です。

ステップ2: 指定された点における導関数の値を求める。

点 $(2, 1)$ における導関数の値は $y'(2) = 2(2) = 4$ です。これは接線の傾きを表します。

ステップ3: 接線の方程式を求める。

点 $(x_1, y_1)$ を通り傾き $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

この場合、$(x_1, y_1) = (2, 1)$ であり、$m = 4$ なので、接線の方程式は

$y - 1 = 4(x - 2)$

$y - 1 = 4x - 8$

$y = 4x - 7$

(2)

ステップ1: 導関数を求める。

$y = -3x^2 + 2x + 3$ の導関数は $y' = -6x + 2$ です。

ステップ2: 指定された点における導関数の値を求める。

点 $(-1, -2)$ における導関数の値は $y'(-1) = -6(-1) + 2 = 6 + 2 = 8$ です。これは接線の傾きを表します。

ステップ3: 接線の方程式を求める。

点 $(x_1, y_1)$ を通り傾き $m$ の直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

この場合、$(x_1, y_1) = (-1, -2)$ であり、$m = 8$ なので、接線の方程式は

$y - (-2) = 8(x - (-1))$

$y + 2 = 8(x + 1)$

$y + 2 = 8x + 8$

$y = 8x + 6$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x - 7$

(2) $y = 8x + 6$