$t > 0$ に対し、定積分 $\int_0^1 |2x^2 - tx| dx$ の最小値を求め、その時の $t$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$t > 0$ に対し、定積分 $\int_0^1 |2x^2 - tx| dx$ の最小値を求め、その時の $t$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 - tx = 0$ となる $x$ を求めます。

$2x^2 - tx = x(2x - t) = 0$ より、$x = 0, \frac{t}{2}$ となります。

積分区間は $[0, 1]$ なので、$0 < \frac{t}{2} < 1$ つまり、$0 < t < 2$ のときと、$\frac{t}{2} \ge 1$ つまり、$t \ge 2$ のときで場合分けします。

(i) $0 < t < 2$ のとき

$\int_0^1 |2x^2 - tx| dx = \int_0^{\frac{t}{2}} (tx - 2x^2) dx + \int_{\frac{t}{2}}^1 (2x^2 - tx) dx$

$= [\frac{tx^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_0^{\frac{t}{2}} + [\frac{2x^3}{3} - \frac{tx^2}{2}]_{\frac{t}{2}}^1$

$= \frac{t^3}{8} - \frac{2t^3}{24} + (\frac{2}{3} - \frac{t}{2}) - (\frac{2t^3}{24} - \frac{t^3}{8})$

$= \frac{t^3}{8} - \frac{t^3}{12} + \frac{2}{3} - \frac{t}{2} - \frac{t^3}{12} + \frac{t^3}{8}$

$= \frac{t^3}{6} - \frac{t}{2} + \frac{2}{3}$

$f(t) = \frac{t^3}{6} - \frac{t}{2} + \frac{2}{3}$ とおくと、

$f'(t) = \frac{t^2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (t^2 - 1) = \frac{1}{2} (t-1)(t+1)$

$0 < t < 2$ より、$t = 1$ のとき $f'(t) = 0$ となり、$f(t)$ は $t = 1$ で極小値をとります。

$f(1) = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{1 - 3 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

(ii) $t \ge 2$ のとき

$\int_0^1 |2x^2 - tx| dx = \int_0^1 (tx - 2x^2) dx$

$= [\frac{tx^2}{2} - \frac{2x^3}{3}]_0^1 = \frac{t}{2} - \frac{2}{3}$

$g(t) = \frac{t}{2} - \frac{2}{3}$ とおくと、これは $t$ について単調増加なので、$t = 2$ のとき最小値をとります。

$g(2) = \frac{2}{2} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

(i)(ii) より、最小値は $\frac{1}{3}$ であり、そのとき $t = 1$ です。

したがって、

$\frac{6 - \sqrt{7}}{8} = \frac{1}{3}$ となるので、6, 7, 8 はそれぞれ 0, 0, 3 となります。

$t = \sqrt{9} = 1$ となるので、9 は 1 となります。

3. 最終的な答え

最小値は $\frac{0 - \sqrt{0}}{3} = \frac{0}{3} = \frac{1}{3}$であり、そのとき $t = \sqrt{1} = 1$ である。

最小値：1/3

t：1