関数 $f(x) = x^3 - 12x - 3$ の極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 12x - 3$ の極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 12$

* 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値の候補となる点です。

$3x^2 - 12 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

* $x = 2$ と $x = -2$ のそれぞれについて、$f(x)$ の値を計算します。

$f(2) = 2^3 - 12(2) - 3 = 8 - 24 - 3 = -19$

$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) - 3 = -8 + 24 - 3 = 13$

* $f''(x)$ を計算し、$x = \pm 2$ における符号を調べ、極大値と極小値を判断します。

$f''(x) = 6x$

$f''(-2) = 6(-2) = -12 < 0$ より、$x = -2$ で極大値をとります。

$f''(2) = 6(2) = 12 > 0$ より、$x = 2$ で極小値をとります。

3. 最終的な答え

極大値: 13 (x = -2)

極小値: -19 (x = 2)