与えられた関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$ の極大値および極小値と、それらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5$ の極大値および極小値と、それらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$

(2) 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値の候補となる点です。

$-3x^2 + 6x + 9 = 0$

両辺を $-3$ で割ると、

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 3$ または $x = -1$

(3) 次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = -6x + 6$

(4) $x = 3$ のとき、$f''(3) = -6(3) + 6 = -18 + 6 = -12 < 0$ なので、$x = 3$ で極大値をとります。

$f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 5 = -27 + 27 + 27 - 5 = 22$

(5) $x = -1$ のとき、$f''(-1) = -6(-1) + 6 = 6 + 6 = 12 > 0$ なので、$x = -1$ で極小値をとります。

$f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 5 = 1 + 3 - 9 - 5 = -10$

3. 最終的な答え

極大値: $22$ ($x = 3$ のとき)

極小値: $-10$ ($x = -1$ のとき)