与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $y = \sin^{-1} \sqrt{x}$ (2) $y = \cos^{-1} (\sin x)$ (3) $y = \tan^{-1} e^x$ (4) $y = \cosh(\cos x)$ (5) $y = \sinh(\sin x)$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $y = \sin^{-1} \sqrt{x}$

(2) $y = \cos^{-1} (\sin x)$

(3) $y = \tan^{-1} e^x$

(4) $y = \cosh(\cos x)$

(5) $y = \sinh(\sin x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1} \sqrt{x}$ の導関数を求める。

$\sin^{-1} u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ なので、$u = \sqrt{x}$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

(2) $y = \cos^{-1} (\sin x)$ の導関数を求める。

$\cos^{-1} u$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ なので、$u = \sin x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sqrt{\cos^2 x}}$

ここで、$\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x|$ なので、$\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{|\cos x|}$

(3) $y = \tan^{-1} e^x$ の導関数を求める。

$\tan^{-1} u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$ なので、$u = e^x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(e^x)^2} \cdot e^x = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

(4) $y = \cosh(\cos x)$ の導関数を求める。

$\cosh u$ の微分は $\sinh u \frac{du}{dx}$ なので、$u = \cos x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \sinh(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \sinh(\cos x)$

(5) $y = \sinh(\sin x)$ の導関数を求める。

$\sinh u$ の微分は $\cosh u \frac{du}{dx}$ なので、$u = \sin x$ とすると、

$\frac{dy}{dx} = \cosh(\sin x) \cdot \cos x = \cos x \cosh(\sin x)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{|\cos x|}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\sin x \sinh(\cos x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = \cos x \cosh(\sin x)$