$2\sin\theta + 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。問題文中のア、イ、ウに当てはまる数値を求めます。

1. 問題の内容

$2\sin\theta + 2\cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。問題文中のア、イ、ウに当てはまる数値を求めます。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。一般に、$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$ と変形できます。ここで、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$です。

今回の問題では、$a = 2$、$b = 2$なので、

$r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

よって、$2\sin\theta + 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta + \alpha)$となります。

ここで、$\cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$なので、$\alpha = 45^{\circ}$です。

したがって、$2\sin\theta + 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin(\theta + 45^{\circ})$となります。

問題文の形式にあてはめると、

$2\sin\theta + 2\cos\theta = ア\sqrt{イ}\sin(\theta + ウ^{\circ})$

なので、ア=2、イ=2、ウ=45となります。

3. 最終的な答え

アにあてはまる数値：2

イにあてはまる数値：2

ウにあてはまる数値：45