関数 $y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ の定義域を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ の定義域を求める問題です。

2. 解き方の手順

対数関数が定義されるためには、真数が正である必要があります。したがって、

$\left| \frac{x-1}{x+1} \right| > 0$

となる必要があります。

絶対値記号の中身が0になる場合を除けば、絶対値は常に正なので、

$\frac{x-1}{x+1} \ne 0$

つまり、$x-1 \ne 0$ より $x \ne 1$。

また、分母が0になる場合を除外する必要があるので、$x+1 \ne 0$ より $x \ne -1$。

よって、$x \ne 1$ かつ $x \ne -1$ である必要があります。

さらに、真数が定義されるためには、$\frac{x-1}{x+1}$ が定義されていなければなりません。

これは、$x+1 \neq 0$ すなわち $x \neq -1$ であることを意味します。

したがって、与えられた関数の定義域は、$x \neq -1$ かつ $x \neq 1$ を満たす $x$ 全体となります。

3. 最終的な答え

定義域は $x < -1$, $-1 < x < 1$, $x > 1$ 。すなわち、$x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$。