(1) $\sin{\frac{10}{3}\pi}$ を $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下の角の三角関数で表し、その値を求める問題。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{2}\cos\theta + 1 = 0$ を解く問題。

1. 問題の内容

(1) $\sin{\frac{10}{3}\pi}$ を $0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下の角の三角関数で表し、その値を求める問題。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{2}\cos\theta + 1 = 0$ を解く問題。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{10}{3}\pi$ を $2\pi$ で割ると、$\frac{10}{3}\pi = 3\pi + \frac{1}{3}\pi = 2\pi + \pi + \frac{1}{3}\pi$ となる。

したがって、$\sin{\frac{10}{3}\pi} = \sin{(3\pi + \frac{1}{3}\pi)} = \sin{(\pi + \frac{1}{3}\pi)} = -\sin{\frac{\pi}{3}}$。

$\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\sin{\frac{10}{3}\pi} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$。

(2)

$\sqrt{2}\cos\theta + 1 = 0$ より、

$\sqrt{2}\cos\theta = -1$

$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ を求める。

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは、$\theta = \frac{3}{4}\pi$ と $\theta = \frac{5}{4}\pi$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$\sin{\frac{10}{3}\pi} = -\sin{\frac{1}{3}\pi} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2)

$\theta = \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi$