$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin \theta + 3 \cos \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = \sin \theta + 3 \cos \theta$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数に変形する。

$y = \sin \theta + 3 \cos \theta$を合成すると、

$y = \sqrt{1^2+3^2} \sin (\theta + \alpha) = \sqrt{10} \sin (\theta + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$、$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$とする。

(2) $\theta$ の範囲から $\theta + \alpha$ の範囲を求める。

$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ なので、$\alpha \leq \theta + \alpha \leq \frac{\pi}{2} + \alpha$

(3) $\sin (\theta + \alpha)$ の範囲を考える。

$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} > 0$、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} > 0$ なので、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$。

よって、$\alpha$ は鋭角である。

$\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$のとき、$y = \sqrt{10} \sin \frac{\pi}{2} = \sqrt{10}$

$\theta + \alpha = \alpha$のとき、 $y = \sqrt{10} \sin \alpha = \sqrt{10} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = 3$

$\alpha \leq \theta + \alpha \leq \frac{\pi}{2} + \alpha$の範囲で$\sin (\theta + \alpha)$の最大値を考える。

$\alpha$ は鋭角なので、$\alpha < \frac{\pi}{2}$。

したがって、$\sin (\theta + \alpha)$ は $\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$ のとき最大値1をとる。このとき、$\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$である。

よって、最大値は$\sqrt{10} \cdot 1 = \sqrt{10}$である。

次に、$\sin (\theta + \alpha)$ の最小値を考える。

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ なので、$\sin (\theta + \alpha)$ は $\theta + \alpha = \alpha$ のとき最小値をとる。このとき、$\theta = 0$である。

$\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$より、$\theta = 0$ のとき、$\sin (\theta + \alpha) = \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$。

よって、最小値は$\sqrt{10} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = 3$である。

3. 最終的な答え

最大値：$\sqrt{10}$

最小値：$3$