与えられた定積分 $\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^3 \sqrt{9-x^2} \, dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a^2 - x^2}$ の形の積分なので、三角関数による置換積分を行います。

$x = 3\sin\theta$ と置換します。

このとき、$dx = 3\cos\theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$3\sin\theta = 0$ なので、$\theta = 0$ となります。

$x = 3$ のとき、$3\sin\theta = 3$ なので、$\sin\theta = 1$ となり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_0^{\pi/2} \sqrt{9 - (3\sin\theta)^2} \cdot 3\cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} \sqrt{9(1 - \sin^2\theta)} \cdot 3\cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} 3\sqrt{\cos^2\theta} \cdot 3\cos\theta \, d\theta$

$= \int_0^{\pi/2} 3\cos\theta \cdot 3\cos\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} 9\cos^2\theta \, d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用いて、

$\int_0^{\pi/2} 9\left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right) d\theta = \frac{9}{2} \int_0^{\pi/2} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta$

$= \frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\pi/2} = \frac{9}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right) \right]$

$= \frac{9}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right] = \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{4}$