定積分 $\int_{1}^{\sqrt{e}} (\log x)^2 dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{\sqrt{e}} (\log x)^2 dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。

まず、$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{2 \log x}{x} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x$

よって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2 (x \log x - x) = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x$

したがって、

$\int_{1}^{\sqrt{e}} (\log x)^2 dx = [x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x]_{1}^{\sqrt{e}}$

$= [\sqrt{e} (\log \sqrt{e})^2 - 2\sqrt{e} \log \sqrt{e} + 2\sqrt{e}] - [1 (\log 1)^2 - 2(1) \log 1 + 2(1)]$

$= [\sqrt{e} (\frac{1}{2})^2 - 2\sqrt{e} (\frac{1}{2}) + 2\sqrt{e}] - [0 - 0 + 2]$

$= \sqrt{e} (\frac{1}{4}) - \sqrt{e} + 2\sqrt{e} - 2$

$= \frac{\sqrt{e}}{4} + \sqrt{e} - 2$

$= \frac{5\sqrt{e}}{4} - 2$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{e}}{4} - 2$