問題は2つの部分からなります。 (1) 2つの曲線 $y = -x^2 + 2x + 1$ と $y = -3x^2 + ax + b$ が点 $(1, 3)$ で接するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) 3次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x = -1$ で極大値 $3$ をとり、$x = 2$ で極小値 $-6$ をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つの部分からなります。

(1) 2つの曲線 $y = -x^2 + 2x + 1$ と $y = -3x^2 + ax + b$ が点 $(1, 3)$ で接するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) 3次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x = -1$ で極大値 $3$ をとり、$x = 2$ で極小値 $-6$ をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つの曲線 $y = -x^2 + 2x + 1$ と $y = -3x^2 + ax + b$ が点 $(1, 3)$ で接するので、まず、それぞれの導関数を求めます。

$y' = -2x + 2$

$y' = -6x + a$

点 $(1, 3)$ におけるそれぞれの曲線の傾きは等しいので、

$-2(1) + 2 = -6(1) + a$

$0 = -6 + a$

$a = 6$

また、点 $(1, 3)$ は $y = -3x^2 + ax + b$ 上にあるので、

$3 = -3(1)^2 + a(1) + b$

$3 = -3 + 6 + b$

$3 = 3 + b$

$b = 0$

(2) 3次関数 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ について、$y' = 3ax^2 + 2bx + c$。

$x = -1$ で極大値 $3$ をとるので、$y(-1) = 3$ かつ $y'(-1) = 0$。

$x = 2$ で極小値 $-6$ をとるので、$y(2) = -6$ かつ $y'(2) = 0$。

したがって、

$y(-1) = -a + b - c + d = 3$ (1)

$y(2) = 8a + 4b + 2c + d = -6$ (2)

$y'(-1) = 3a - 2b + c = 0$ (3)

$y'(2) = 12a + 4b + c = 0$ (4)

(4) - (3) より、

$9a + 6b = 0$

$3a + 2b = 0$

$b = -\frac{3}{2}a$ (5)

(3) に (5) を代入すると、

$3a - 2(-\frac{3}{2}a) + c = 0$

$3a + 3a + c = 0$

$c = -6a$ (6)

(1) に (5) と (6) を代入すると、

$-a - \frac{3}{2}a - (-6a) + d = 3$

$-a - \frac{3}{2}a + 6a + d = 3$

$\frac{7}{2}a + d = 3$

$d = 3 - \frac{7}{2}a$ (7)

(2) に (5) と (6) と (7) を代入すると、

$8a + 4(-\frac{3}{2}a) + 2(-6a) + (3 - \frac{7}{2}a) = -6$

$8a - 6a - 12a + 3 - \frac{7}{2}a = -6$

$-10a - \frac{7}{2}a = -9$

$-\frac{27}{2}a = -9$

$a = \frac{2}{3}$

(5) より、$b = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = -1$

(6) より、$c = -6 \cdot \frac{2}{3} = -4$

(7) より、$d = 3 - \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} = 3 - \frac{7}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 6$, $b = 0$

(2) $a = \frac{2}{3}$, $b = -1$, $c = -4$, $d = \frac{2}{3}$