(1) $\sin\theta - \cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形する。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$とする。 (2) $y=\sin2x - 2\sin x - 2\cos x - 1$ とする。 (1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表す。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、$y$ の最大値、最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin\theta - \cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形する。ただし、$r>0$, $-\pi < \alpha \le \pi$とする。

(2) $y=\sin2x - 2\sin x - 2\cos x - 1$ とする。

(1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$y$ を $t$ の式で表す。

(2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、$y$ の最大値、最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta)$

$= \sqrt{2} (\sin\theta\cos(-\frac{\pi}{4}) + \cos\theta\sin(-\frac{\pi}{4}))$

$= \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

したがって、$\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$.

(2) (1)

$t = \sin x + \cos x$ より、$t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x$.

よって、$\sin 2x = t^2 - 1$.

$y = \sin 2x - 2\sin x - 2\cos x - 1 = \sin 2x - 2(\sin x + \cos x) - 1 = t^2 - 1 - 2t - 1 = t^2 - 2t - 2$.

したがって、$y = t^2 - 2t - 2$.

(2) (2)

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le x + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$.

$-1 \le \sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1$ であるから、$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$.

よって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

$y = t^2 - 2t - 2 = (t-1)^2 - 3$.

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

軸 $t=1$ はこの範囲に含まれるので、$t=1$ のとき最小値をとる。

$t=1$ のとき、$y = 1^2 - 2(1) - 2 = -3$.

また、$t=-\sqrt{2}$ のとき、$y = (-\sqrt{2})^2 - 2(-\sqrt{2}) - 2 = 2 + 2\sqrt{2} - 2 = 2\sqrt{2}$.

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2}) - 2 = 2 - 2\sqrt{2} - 2 = -2\sqrt{2}$.

したがって、最大値は $2\sqrt{2}$、最小値は $-3$.

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{1}{4}\pi)$

(2) (1) $y = t^2 - 2t - 2$

(2) (2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

最大値: $2\sqrt{2}$

最小値: $-3$