曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積と、曲線$C$と曲線$D$で囲まれた図形の面積が等しくなるような、$c$の値を求める問題です。ただし、$f(x)-x = \frac{1}{9}x(x-3)^2$、$g(x)-x = cx(x-3)^2$、$g(x) = cx^3 - dx^2 + ex$ であり、$c > \frac{1}{9}$ です。

1. 問題の内容

曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積と、曲線$C$と曲線$D$で囲まれた図形の面積が等しくなるような、$c$の値を求める問題です。ただし、$f(x)-x = \frac{1}{9}x(x-3)^2$、$g(x)-x = cx(x-3)^2$、$g(x) = cx^3 - dx^2 + ex$ であり、$c > \frac{1}{9}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)-x = \frac{1}{9}x(x-3)^2$ より、$f(x) = \frac{1}{9}x(x-3)^2 + x = \frac{1}{9}x(x^2 - 6x + 9) + x = \frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x + x = \frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + 2x$

次に、$g(x)-x = cx(x-3)^2$ より、$g(x) = cx(x-3)^2 + x = cx(x^2 - 6x + 9) + x = cx^3 - 6cx^2 + 9cx + x = cx^3 - 6cx^2 + (9c+1)x$

$g(x) - f(x) = (c - \frac{1}{9})x(x-3)^2$

$f(x) - x = \frac{1}{9}x(x-3)^2$

曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積$S_1$は、

$S_1 = \int_0^3 |f(x) - x| dx = \int_0^3 |\frac{1}{9}x(x-3)^2| dx = \frac{1}{9} \int_0^3 x(x-3)^2 dx = \frac{1}{9} \int_0^3 x(x^2-6x+9) dx = \frac{1}{9} \int_0^3 (x^3 - 6x^2 + 9x) dx$

$S_1 = \frac{1}{9} [\frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2]_0^3 = \frac{1}{9} (\frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2}) = \frac{1}{9} (\frac{81 - 216 + 162}{4}) = \frac{1}{9} (\frac{27}{4}) = \frac{3}{4}$

曲線$C$と曲線$D$で囲まれた図形の面積$S_2$は、

$S_2 = \int_0^3 |g(x) - f(x)| dx = \int_0^3 |(c-\frac{1}{9})x(x-3)^2| dx = (c - \frac{1}{9}) \int_0^3 x(x-3)^2 dx = 9(c-\frac{1}{9}) \int_0^3 \frac{1}{9}x(x-3)^2 dx$

$S_2 = 9(c - \frac{1}{9}) S_1 = 9(c - \frac{1}{9}) \frac{3}{4}$

問題より、$S_1 = S_2$ なので、$\frac{3}{4} = 9(c - \frac{1}{9}) \frac{3}{4}$

$1 = 9(c - \frac{1}{9})$

$1 = 9c - 1$

$9c = 2$

$c = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

$c = \frac{2}{9}$