$-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で、次の三角関数に関する方程式と不等式を解きます。 (1) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$ (2) $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$

1. 問題の内容

$-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で、次の三角関数に関する方程式と不等式を解きます。

(1) $2\cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

(2) $\sqrt{3}\tan^2\theta + 4\tan\theta + \sqrt{3} < 0$

2. 解き方の手順

(1)

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、与えられた方程式を $\sin\theta$ だけの式に変換します。

$2(1-\sin^2\theta) + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

$2 - 2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1 = 0$

$-2\sin^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 3 = 0$

$2\sin^2\theta - \sqrt{3}\sin\theta - 3 = 0$

$\sin\theta = t$ とおくと、

$2t^2 - \sqrt{3}t - 3 = 0$

解の公式より、

$t = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{4}$

$t = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ または $t = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\theta = \sqrt{3}$ は $-1 \le \sin\theta \le 1$ に反するので不適。

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で、$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$ です。

(2)

$\tan\theta = t$ とおくと、与えられた不等式は

$\sqrt{3}t^2 + 4t + \sqrt{3} < 0$

$\sqrt{3}(t^2 + \frac{4}{\sqrt{3}}t + 1) < 0$

両辺を $\sqrt{3}$ で割ると

$t^2 + \frac{4}{\sqrt{3}}t + 1 < 0$

$(\sqrt{3}t + 1)(t + \sqrt{3}) < 0$

$-\sqrt{3} < t < -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\sqrt{3} < \tan\theta < -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で、$\tan\theta = -\sqrt{3}$ となるのは $\theta = -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となるのは $\theta = -\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$-\pi \le \theta < \pi$ の範囲で $\tan\theta$ が負となるのは $-\pi/2 < \theta < 0$ と $\pi/2 < \theta < \pi$

したがって、$-\frac{\pi}{3} < \theta < -\frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = -\frac{\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$

(2) $-\frac{\pi}{3} < \theta < -\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{2\pi}{3}$