$xy$ 平面上の曲線 $C: y = x^3 - ax$ を考える。$C$ 上の $x \ge 0$ の部分に異なる2点 $P(p, p^3-ap)$, $Q(q, q^3-aq)$ ($p < q$) をとる。点$P$における$C$の法線 $l_P$ と点$Q$ における$C$の法線 $l_Q$ がいずれも$C$に接するとき、 (1) $a$ の取りうる値の範囲を求めよ。 (2) 2直線 $l_P$, $l_Q$ の交点を $R$, $\angle PRQ = \theta$ とするとき、$\lim_{a \to \infty} \frac{\tan \theta}{a}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上の曲線 $C: y = x^3 - ax$ を考える。$C$ 上の $x \ge 0$ の部分に異なる2点 $P(p, p^3-ap)$, $Q(q, q^3-aq)$ ($p < q$) をとる。点$P$における$C$の法線 $l_P$ と点$Q$ における$C$の法線 $l_Q$ がいずれも$C$に接するとき、

(1) $a$ の取りうる値の範囲を求めよ。

(2) 2直線 $l_P$, $l_Q$ の交点を $R$, $\angle PRQ = \theta$ とするとき、$\lim_{a \to \infty} \frac{\tan \theta}{a}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^3 - ax$ より $y' = 3x^2 - a$。

点 $P$ における法線 $l_P$ の傾きは $-\frac{1}{3p^2 - a}$ であるから、法線 $l_P$ の方程式は

$y - (p^3 - ap) = -\frac{1}{3p^2 - a} (x - p)$

$y = -\frac{1}{3p^2 - a} x + p^3 - ap + \frac{p}{3p^2 - a}$

法線 $l_P$ が $C$ に接するので、$x^3 - ax = -\frac{1}{3p^2 - a} x + p^3 - ap + \frac{p}{3p^2 - a}$ が重解をもつ。

$x^3 - ax + \frac{1}{3p^2 - a} x - p^3 + ap - \frac{p}{3p^2 - a} = 0$

$x^3 - (a - \frac{1}{3p^2 - a})x - p^3 + ap - \frac{p}{3p^2 - a} = 0$

この方程式は、$x=p$ を解に持つから、$(x-p)(x^2+px+p^2 - a + \frac{1}{3p^2 - a}) = 0$

法線 $l_P$ が $x=r$ で接するとすると、$x^2+px+p^2 - a + \frac{1}{3p^2 - a} = (x-r)^2$

$x^2 + px + p^2 - a + \frac{1}{3p^2 - a} = x^2 - 2rx + r^2$

$p = -2r$ より $r = -p/2$

$p^2 - a + \frac{1}{3p^2 - a} = r^2 = \frac{p^2}{4}$

$\frac{3}{4} p^2 = a - \frac{1}{3p^2 - a}$

$\frac{3}{4} p^2 = \frac{a(3p^2 - a) - 1}{3p^2 - a} = \frac{3ap^2 - a^2 - 1}{3p^2 - a}$

$3p^2 - a > 0$ である必要がある.

$\frac{3}{4} p^2 (3p^2 - a) = 3ap^2 - a^2 - 1$

$\frac{9}{4} p^4 - \frac{3}{4} ap^2 = 3ap^2 - a^2 - 1$

$\frac{9}{4} p^4 - \frac{15}{4} ap^2 + a^2 + 1 = 0$

$9p^4 - 15ap^2 + 4a^2 + 4 = 0$

$p^2 = \frac{15a \pm \sqrt{(15a)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (4a^2 + 4)}}{18} = \frac{15a \pm \sqrt{225a^2 - 144a^2 - 144}}{18} = \frac{15a \pm \sqrt{81a^2 - 144}}{18} = \frac{15a \pm 3\sqrt{9a^2 - 16}}{18} = \frac{5a \pm \sqrt{9a^2 - 16}}{6}$

$p^2 > 0$ なので, $9a^2 - 16 \ge 0$ が必要. よって $a \ge \frac{4}{3}$.

$3p^2 - a > 0$ より $3 (\frac{5a \pm \sqrt{9a^2 - 16}}{6}) - a > 0$

$\frac{5a \pm \sqrt{9a^2 - 16}}{2} - a > 0$

$5a \pm \sqrt{9a^2 - 16} - 2a > 0$

$3a \pm \sqrt{9a^2 - 16} > 0$

$3a + \sqrt{9a^2 - 16} > 0$ は常に成り立つ。

$3a - \sqrt{9a^2 - 16} > 0$

$3a > \sqrt{9a^2 - 16}$

$9a^2 > 9a^2 - 16$, これは常に成立する。

$p < q$ より、$p^2, q^2$ は異なる値をとるので、$9a^2-16>0$ でなければならない。

よって $a > \frac{4}{3}$.

(2)

$p^2 = \frac{5a - \sqrt{9a^2 - 16}}{6}, q^2 = \frac{5a + \sqrt{9a^2 - 16}}{6}$

$l_P: y = -\frac{1}{3p^2 - a} x + p^3 - ap + \frac{p}{3p^2 - a}$

$l_Q: y = -\frac{1}{3q^2 - a} x + q^3 - aq + \frac{q}{3q^2 - a}$

$\frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q} = \tan \alpha = \frac{-\frac{1}{3p^2 - a} + \frac{1}{3q^2 - a}}{1 - (\frac{1}{3p^2 - a})(\frac{1}{3q^2 - a})} = \frac{(3p^2 - a) - (3q^2 - a)}{(3p^2 - a)(3q^2 - a) - 1}$

$= \frac{3(p^2 - q^2)}{(3p^2 - a)(3q^2 - a) - 1} = \frac{3(\frac{5a - \sqrt{9a^2 - 16}}{6} - \frac{5a + \sqrt{9a^2 - 16}}{6})}{\frac{3}{4} (a(3q^2 - a) - 1)}$

$\frac{\tan \theta}{a}$ を考える。

3. 最終的な答え

(1) $a > \frac{4}{3}$

(2) 解答不能