関数 $f(x) = 3x^3 - 2x + 1$ と $g(x) = x + 4$ が与えられています。 (1) $f(x)g(x)$ を微分した結果の係数を求めます。つまり、$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = \boxed{①}x^3 + \boxed{②}x^2 + \boxed{③}x + \boxed{④}$ の $\boxed{①}$、$\boxed{②}$、$\boxed{③}$、$\boxed{④}$ を求めます。 (2) $\frac{f(x)}{g(x)}$ を微分した結果の係数を求めます。つまり、$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\boxed{①}x^3 + \boxed{②}x^2 + \boxed{③}x + \boxed{④}}{(x+4)^2}$ の $\boxed{①}$、$\boxed{②}$、$\boxed{③}$、$\boxed{④}$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3x^3 - 2x + 1$ と $g(x) = x + 4$ が与えられています。

(1) $f(x)g(x)$ を微分した結果の係数を求めます。つまり、$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = \boxed{①}x^3 + \boxed{②}x^2 + \boxed{③}x + \boxed{④}$ の $\boxed{①}$、$\boxed{②}$、$\boxed{③}$、$\boxed{④}$ を求めます。

(2) $\frac{f(x)}{g(x)}$ を微分した結果の係数を求めます。つまり、$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\boxed{①}x^3 + \boxed{②}x^2 + \boxed{③}x + \boxed{④}}{(x+4)^2}$ の $\boxed{①}$、$\boxed{②}$、$\boxed{③}$、$\boxed{④}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 積の微分公式 $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を使います。

$f(x) = 3x^3 - 2x + 1$ より $f'(x) = 9x^2 - 2$ です。

$g(x) = x + 4$ より $g'(x) = 1$ です。

よって、

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = (9x^2 - 2)(x+4) + (3x^3 - 2x + 1)(1)$

$= 9x^3 + 36x^2 - 2x - 8 + 3x^3 - 2x + 1$

$= (9+3)x^3 + 36x^2 + (-2-2)x + (-8+1)$

$= 12x^3 + 36x^2 - 4x - 7$

(2) 商の微分公式 $\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ を使います。

$f'(x) = 9x^2 - 2$

$g'(x) = 1$

よって、

$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{(9x^2 - 2)(x+4) - (3x^3 - 2x + 1)(1)}{(x+4)^2}$

$= \frac{9x^3 + 36x^2 - 2x - 8 - 3x^3 + 2x - 1}{(x+4)^2}$

$= \frac{(9-3)x^3 + 36x^2 + (-2+2)x + (-8-1)}{(x+4)^2}$

$= \frac{6x^3 + 36x^2 + 0x - 9}{(x+4)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\boxed{①} = 12$, $\boxed{②} = 36$, $\boxed{③} = -4$, $\boxed{④} = -7$

(2) $\boxed{①} = 6$, $\boxed{②} = 36$, $\boxed{③} = 0$, $\boxed{④} = -9$