定積分 $\int_{1}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここで、$u = x$ と $dv = e^{\frac{x}{2}} dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ であり、$v = \int e^{\frac{x}{2}} dx = 2e^{\frac{x}{2}}$ となります。

したがって、

$$\int xe^{\frac{x}{2}} dx = x(2e^{\frac{x}{2}}) - \int 2e^{\frac{x}{2}} dx = 2xe^{\frac{x}{2}} - 4e^{\frac{x}{2}} + C$$

となります。

次に、定積分を計算します。

$$\int_{1}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx = \left[ 2xe^{\frac{x}{2}} - 4e^{\frac{x}{2}} \right]_1^2 = \left( 2(2)e^{\frac{2}{2}} - 4e^{\frac{2}{2}} \right) - \left( 2(1)e^{\frac{1}{2}} - 4e^{\frac{1}{2}} \right)$$

$$= (4e - 4e) - (2e^{\frac{1}{2}} - 4e^{\frac{1}{2}}) = 0 - (-2e^{\frac{1}{2}}) = 2e^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{e}$$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{e}$