定積分 $\int_{1}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は以下の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u=x$、$dv=e^{\frac{x}{2}} dx$ とおきます。すると、$du=dx$、$v=\int e^{\frac{x}{2}} dx = 2e^{\frac{x}{2}}$ となります。

したがって、

$\int_{1}^{2} xe^{\frac{x}{2}} dx = \left[x(2e^{\frac{x}{2}})\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} 2e^{\frac{x}{2}} dx$

$= \left[2xe^{\frac{x}{2}}\right]_{1}^{2} - \left[4e^{\frac{x}{2}}\right]_{1}^{2}$

$= (2(2)e^{\frac{2}{2}} - 2(1)e^{\frac{1}{2}}) - (4e^{\frac{2}{2}} - 4e^{\frac{1}{2}})$

$= (4e - 2e^{\frac{1}{2}}) - (4e - 4e^{\frac{1}{2}})$

$= 4e - 2e^{\frac{1}{2}} - 4e + 4e^{\frac{1}{2}}$

$= 2e^{\frac{1}{2}}$

$= 2\sqrt{e}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{e}$