与えられた積分を計算します。積分は $\int x |\log x| dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int x |\log x| dx$ です。

2. 解き方の手順

絶対値の中身の正負で場合分けを行います。

(i) $x \ge 1$ のとき、$\log x \ge 0$ なので、$|\log x| = \log x$。よって、積分は $\int x \log x dx$ となります。部分積分を用いて計算します。

$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。

$$\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C_1$$

(ii) $0 < x < 1$ のとき、$\log x < 0$ なので、$|\log x| = -\log x$。よって、積分は $\int -x \log x dx$ となります。部分積分を用いて計算します。

$u = -\log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = -\frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$。

$$\int -x \log x dx = -\frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \left( -\frac{1}{x} \right) dx = -\frac{x^2}{2} \log x + \int \frac{x}{2} dx = -\frac{x^2}{2} \log x + \frac{x^2}{4} + C_2$$

3. 最終的な答え

積分結果は以下のようになります。

$$$$

\int x |\log x| dx =

\begin{cases}

\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C_1 & (x \ge 1) \\

-\frac{x^2}{2} \log x + \frac{x^2}{4} + C_2 & (0 < x < 1)

\end{cases}

$$$$

まとめると、

$$\int x |\log x| dx = \frac{x^2}{4} (2 |\log x| - 1) + C$$

（ただし、$C$ は積分定数）